Question

已知橢圓C：（a>b>0），過(guò)點(diǎn)(0，1)，且離心率為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)A，B為橢圓C的左右頂點(diǎn)，直線l：x=2與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)P是橢圓C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，直線AP，BP分別交直線l于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．證明：當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒為定值．

Answer 1

（1），（2）1．

試題分析：（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，基本方法為待定系數(shù)法.只需兩個(gè)獨(dú)立條件確定即可. 由b=1，可解得a=2，故橢圓的方程為，（2）證明橢圓定值問(wèn)題，實(shí)際是以算代征.即需計(jì)算出為一個(gè)常數(shù)．由于點(diǎn)D在x軸上，所以,即只需計(jì)算E，F(xiàn)兩點(diǎn)縱坐標(biāo). 由直線AP： 與直線l：x=2的交點(diǎn)得: ,即，同理可得，因此==1。
試題解析：（1）由題意可知，b=1，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824044201781672.png" style="vertical-align:middle;" />，且a2=b2+c2，解得a=2
所以橢圓的方程為                  4
（2）由題意可得：A（﹣2，0），B（2，0）．
設(shè)P（x0，y0），由題意可得：﹣2＜x0＜2，
所以直線AP的方程為             6
令，則，即        8
同理：直線BP的方程為，令，則，
即         10
所以
=                    ..12
而，即4y02=4﹣x02，代入上式，
所以|DE|·|DF|=1，所以|DE|·|DF|為定值1．                14