Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過原點(diǎn)O的直線與函數(shù)y=log₈x的圖象交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），分別過A、B作y軸的平行線分別與函數(shù)y=log₂x的圖象交于C、D兩點(diǎn)，若BC∥x軸，則四邊形ABCD的面積為

4 3

3

log23

．

Answer 1

分析：設(shè)出A、B的坐標(biāo)，求出OA、OB的斜率相等利用三點(diǎn)共線得出A、B的坐標(biāo)之間的關(guān)系．再根據(jù)BC平行x軸，B、C縱坐標(biāo)相等，推出橫坐標(biāo)的關(guān)系，結(jié)合之前得出A、B的坐標(biāo)之間的關(guān)系即可求出A的坐標(biāo)，從而解出B、C、D的坐標(biāo)，最后利用梯形的面積公式求解即可．

解答：解：設(shè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂由題設(shè)知，x₁＞1，x₂＞1．
則點(diǎn)A、B縱坐標(biāo)分別為log₈x₁、log₈x₂．
因?yàn)锳、B在過點(diǎn)O的直線上，所以

log8x1

x1

=

log8x2

x2

，
點(diǎn)C、D坐標(biāo)分別為（x₁，log₂x₁），（x₂，log₂x₂）．
由于BC平行于x軸知
log₂x₁=log₈x₂，
即得log₂x₁=

1

3

log₂x₂，
∴x₂=x₁³．
代入x₂log₈x₁=x₁log₈x₂得x₁³log₈x₁=3x₁log₈x₁．
由于x₁＞1知log₈x₁≠0，
∴x₁³=3x₁．
考慮x₁＞1解得x₁=

3

．
于是點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

3

，log₈

3

）即A（

3

，

1

6

log₂3）
∴B（3

3

，

1

2

log₂3），C（

3

，

1

2

log₂3），D（3

3

，

3

2

log₂3）．
∴梯形ABCD的面積為S=

1

2

（AC+BD）×BC=

1

2

（

1

3

log₂3+log₂3）×2

3

=

4 3

3

log23．
故答案為：

4 3

3

log23．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)圖象、對(duì)數(shù)換底公式、對(duì)數(shù)方程、指數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力和分析問題的能力．