Question

如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，側(cè)面對(duì)角線(xiàn)AB1，BC1上分別有兩點(diǎn)E，F(xiàn)，且B1E＝C1F.求證：EF∥平面ABCD.

 

 

Answer 1

見(jiàn)解析

【解析】證明：方法一：過(guò)E作EM⊥AB于M，過(guò)F作FN⊥BC于N，連接MN，如圖所示，則EM∥BB1，F(xiàn)N∥BB1，

∴EM∥FN.

∵AB1＝BC1，B1E＝C1F，

∴AE＝BF，

∴＝，

＝＝，

∴＝.

又∵BB1＝CC1，∴EM＝FN，

∴四邊形EMNF是平行四邊形，

∴EF∥MN.

又∵EF?平面ABCD，MN?平面ABCD，

∴EF∥平面ABCD.

方法二：過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BB1于點(diǎn)H，連接FH，如圖所示，則EH∥AB，所以＝.

∵AB1＝BC1，B1E＝C1F，

∴＝，

∴＝，

∴FH∥B1C1.

∵B1C1∥BC，∴FH∥BC.

∵EH∩FH＝H，

∴平面EFH∥平面ABCD.

∵EF?平面EFH，

∴EF∥平面ABCD.