Question

設全集I＝R，已知集合M＝{x|（x＋3）2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．

（1）求（∁IM）∩N；

（2）記集合A＝（∁IM）∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若B∪A＝A，求實數a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）{2}；（2）{a|a≥3}

【解析】

試題分析：（1）已知兩集合若求交、并、補應注意端點值以及結合數軸完成；（2）已知兩個集合之間的關系求參數時，要明確集合中的元素，對子集是否為空集進行分類討論，做到不漏解恒成立問題一般需轉化為最值，利用單調性證明在閉區(qū)間的單調性.（3）一元二次不等式在上恒成立，看開口方向和判別式.（4）含參數的一元二次不等式在某區(qū)間內恒成立的問題通常有兩種處理方法：一是利用二次函數在區(qū)間上的最值來處理；二是分離參數，再去求函數的最值來處理，一般后者比較簡單，對于恒成立的問題，常用到以下兩個結論：（1），（2）.

試題解析：（1）∵M＝{x|≤0}＝{－3}， N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，

∴＝{x|x≠－3}， ∴（）∩N＝{2}．

（2）A＝（）∩N＝{2}，

∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴B＝或B＝{2}，

當B＝時，a－1>5－a，∴a>3；

當B＝{2}時，，解得a＝3，

綜上所述，所求a的取值范圍為{a|a≥3}．

考點：（1）集合間的基本關系；（2）利用最值證明恒成立問題.