已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個頂點為A（0，1），離心率為
2
2
，過點B（0，-2）及左焦點F1的直線交橢圓于C，D兩點，右焦點設為F2．
（1）求橢圓的方程；
（2）求△CDF2的面積．
分析：（1）根據(jù)橢圓的基本概念和平方關系，建立關于a、b、c的方程，解出a=
2
，b=c=1，從而得到橢圓的方程；
（2）求出F1B直線的斜率得直線F1B的方程為y=-2x-2，與橢圓方程聯(lián)解并結合根與系數(shù)的關系算出|x1-x2|=
2
2
9
，結合弦長公式可得|CD|=
10
9
2
，最后利用點到直線的距離公式求出F2到直線BF1的距離d，即可得到△CDF2的面積．
解答：解：（1）∵橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個頂點為A（0，1），離心率為
2
2
，
∴b=
a2-c2
=1，且
c
a
=
2
2
，解之得a=
2
，c=1
可得橢圓的方程為
x2
2
+y2=1； …（4分）
（2）∵左焦點F1（-1，0），B（0，-2），得F1B直線的斜率為-2
∴直線F1B的方程為y=-2x-2
由
y=-2x-2
x2
2
+y2=1
，化簡得9x2+16x+6=0．
∵△=162-4×9×6=40＞0，
∴直線與橢圓有兩個公共點，設為C（x1，y1），D（x2，y2），
則
x1+x2=-
16
9
x1•x2=
2
3

∴|CD|=
1+(-2)2
|x1-x2|=
5
•
(x1+x2)2-4x1x2
=
5
•
(-
16
9
)2-4×
2
3
 =
10
9
2

又∵點F2到直線BF1的距離d=
|-2-2|
5
=
4
5
5
，
∴△CDF2的面積為S=
1
2
|CD|×d=
1
2
×
10
9
2
×
4
5
5
=
4
10
9
．
點評：本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓的方程并求三角形的面積．著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質(zhì)、直線與圓角曲線的位置關系等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左頂點為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標準方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的頂點），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F（-c，0）是長軸的一個四等分點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當點D到兩焦點的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過點M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當m=-1時，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點，且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設點M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點，若N為AB的中點，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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