Question

橢圓b²x²+a²y²=a²b²（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F₁、F₂，等邊三角形的邊AF₁、AF₂與該橢圓分別相交于B、C兩點(diǎn)，且2|BC|=|F₁F₂|，則該橢圓的離心率等于（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：由△A為正三角形可得∠AF₁F₂=∠A=60°，則可求直線AF₁，AF₂的斜率，進(jìn)而可求所在的直線方程，其交點(diǎn)，而AF₁中點(diǎn)B在橢圓上，代入橢圓的方程，結(jié)合b²=a²-c²及0＜e＜1可求該橢圓的離心率．
解答：解：由△AF₁F₂為正三角形可得∠AF₁F₂=∠AF₂F₁=60°
則直線AF₁，AF₂的斜率分別為 ，-
則直線AF₁，AF₂所在的直線方程分別為y=，y=，
其交點(diǎn)A（0，c），由于2|BC|=|F₁F₂|，得BC是三角形的中位線，得B是AF₁的中點(diǎn)，
從而AF₁中點(diǎn)B（ ，）在橢圓上，代入橢圓的方程可得
整理可得，c²（a²-c²）+3c²a²=4a²（a²-c²）
∴4a⁴-8a²c²+c⁴=0
兩邊同時(shí)除以a⁴可得，e⁴-8e²+4=0
∵0＜e＜1
∴，（舍）
∴
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直角三角形中的邊角關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力和數(shù)形結(jié)合思想．