Question

已知函數(shù)f（x）=ln（2+3x）-x²．
（1）求函數(shù)y=f（x）的極大值；
（2）令g（x）=f（x）+x²+（m-1）x（m為實(shí)常數(shù)），試判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性；
（3）若對(duì)任意x∈，不等式|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0均成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=ln（2+3x）-x²，∴函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/228363.png' />）．
由=，得x=，
當(dāng)x∈時(shí)，f^′（x）＞0，當(dāng)x∈時(shí)，f^′（x）＜0．
∴y=f（x）在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）的極大值為．
（2）由g（x）=f（x）+x²+（m-1）x，
得g（x）=ln（2+3x）+（m-1）x （x＞），
所以．
①當(dāng)m-1=0，即m=1時(shí)，，∴g（x）在上為增函數(shù)；
②當(dāng)m-1≠0，即m≠1時(shí)，．
由g^′（x）=0，得：，∵，
∴1°若m＞1，則，，∴x＞-時(shí)，g^′（x）＞0，∴g（x）在上為增函數(shù)；
2°若m＜1，則，∴當(dāng)x∈時(shí)，g^′（x）＞0；當(dāng)x∈時(shí)，
g^′（x）＜0，∴g（x）在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．
綜上可知，當(dāng)m≥1時(shí)，g（x）在上為增函數(shù)；
當(dāng)m＜1時(shí)，g（x）在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．
（3）∵，
由|a-lnx|+ln[f^′（x）+3x]＞0，得：，
∵x∈，∴0≤，而|a-lnx|≥0，
∴要對(duì)任意，不等式|a-lnx|+ln[f^′（x）+3x]＞0均成立，
須與|a-lnx|不同時(shí)為0．
因當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，=0，所以為滿足題意必有，即a≠．
故對(duì)任意x∈，不等式|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0均成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a}．
分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)把定義域分段，判斷出函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的單調(diào)性，從而判出函數(shù)的極值點(diǎn)并求出極值；
（2）把函數(shù)f（x）的解析式代入后求導(dǎo)，然后對(duì)m進(jìn)行分類，根據(jù)m的不同范圍分析導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，從而得到函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）把函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)代入不等式|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0的左側(cè)，根據(jù)給出的x的范圍得到ln[f′（x）+3x]恒大于等于0，而|a-lnx|恒大于等于0，所以只需把使兩者同時(shí)為0的a值排除即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，連續(xù)函數(shù)在定義域內(nèi)某點(diǎn)的兩側(cè)的單調(diào)性不同，則該點(diǎn)是函數(shù)的極值點(diǎn)，此題是中檔題．