已知橢圓的中心在原點，一個焦點，且長軸長與短軸長的比是．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若橢圓在第一象限的一點的橫坐標為，過點作傾斜角互補的兩條不同的直線，分別交橢圓于另外兩點，，求證：直線的斜率為定值；

（Ⅲ）求面積的最大值．

（1） （2）同下 （3）


解析:

（Ⅰ）設橢圓的方程為．

由題意  ………………………………………………2分

解得 ，．

所以橢圓的方程為．………………………………………………4分

（Ⅱ）由題意知，兩直線，的斜率必存在，設的斜率為，

則的直線方程為.

由得

.………………6分

設，，則

，

同理可得，

則，.

所以直線的斜率為定值. ……………………………………8分

（Ⅲ）設的直線方程為.

由得. [來源:Z§xx§k.Com]

由，得.……………………………………10分

此時，.

到的距離為，

   

則

.

因為使判別式大于零，

所以當且僅當時取等號，

所以面積的最大值為．………………………………………………………13分

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為
2
2
，且橢圓經過圓C：x2+y2-4x+2
2
y=0的圓心C．
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線l過橢圓的焦點且與圓C相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點O，焦點在坐標軸上，直線y=2x+1與該橢圓相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=
1011
，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點，對稱軸為坐標軸，左焦點為F1（-3，0），右準線方程為x=
253
．
（1）求橢圓的標準方程和離心率e；
（2）設P為橢圓上第一象限的點，F(xiàn)2為右焦點，若△PF1F2為直角三角形，求△PF1F2的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點，且橢圓過點P（3，2），焦點在坐標軸上，長軸長是短軸長的3倍，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點，一個焦點F1（0，-2
2
），且離心率e滿足：
2
3
，e，
4
3
成等比數(shù)列．
（1）求橢圓方程；
（2）直線y=x+1與橢圓交于點A，B．求△AOB的面積．

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