Question

19．已知函數(shù)$f（x）=\frac{a-1}{x}-2a，g（x）=-ax-1$，a＞0．
（1）設(shè)h（x）=f（x）-g（x），若函數(shù)h（x）在$（{0，\frac{1}{2}}）$上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若f（x）≥g（x）+lnx在[1，+∞）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出h′（x）=a-$\frac{a-1}{{x}^{2}}$=$\frac{a{x}^{2}+1-a}{{x}^{2}}$，a＞0，由函數(shù)h（x）在$（{0，\frac{1}{2}}）$上是減函數(shù)，列出不等式組，能求出實數(shù)a的取值范圍．
（2）令μ（x）=h（x）-lnx=ax+$\frac{a-1}{x}$-2a+1-lnx，x∈[1，+∞），則μ（1）=0，μ′（x）=$\frac{a（x-1）（x-\frac{1-a}{a}）}{{x}^{2}}$，根據(jù)0＜a＜$\frac{1}{2}$，a$≥\frac{1}{2}$兩種情況分類討論，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{a-1}{x}-2a，g（x）=-ax-1$，a＞0．
∴h（x）=f（x）-g（x）=$\frac{a-1}{x}-2a+ax+1$，a＞0，
∴h′（x）=a-$\frac{a-1}{{x}^{2}}$=$\frac{a{x}^{2}+1-a}{{x}^{2}}$，a＞0，
∵函數(shù)h（x）在$（{0，\frac{1}{2}}）$上是減函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{h}^{'}（0）＜0}\\{{h}^{'}（\frac{1}{2}）≤0}\end{array}\right.$，解得a≥$\frac{4}{3}$，
∴實數(shù)a的取值范圍是[$\frac{4}{3}$，+∞）．
（2）令μ（x）=h（x）-lnx=ax+$\frac{a-1}{x}$-2a+1-lnx，x∈[1，+∞），
則μ（1）=0，μ′（x）=a-$\frac{a-1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{a{x}^{2}-x-（a-1）}{{x}^{2}}$=$\frac{a（x-1）（x-\frac{1-a}{a}）}{{x}^{2}}$，
（i）當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時，$\frac{1-a}{a}$＞1，
若1＜x＜$\frac{1-a}{a}$，則μ′（x）＜0，μ（x）是減函數(shù)，
∴μ（x）＜g（1）=0，上式不恒成立；
（ii）當(dāng)a$≥\frac{1}{2}$時，$\frac{1-a}{a}$≤1，
若x＞1，則μ′（x）＞0，μ（x）是增函數(shù)，
∴μ（x）＞μ（1）=0．
綜上所述，所求a的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，+∞）．

點評 本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查導(dǎo)數(shù)、構(gòu)造法、函數(shù)單調(diào)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想，是中檔題．