Question

已知函數f（x）=m•2^x+t的圖象經過點A（1，1）、B（2，3）及C（n，S_n），S_n為數列{a_n}的前n項和，n∈N^*．
（1）求S_n及a_n；
（2）若數列{c_n}滿足c_n=6na_n-n，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）將點A（1，1）、B（2，3）代入函數解析式，得到關于m，t的方程解出參數的值，求得函數的解析式，再將點C（n，S_n），得到S_n=2ⁿ-1（n∈N^*）．再有n≥2時，a_n=S_n-S_n-1求a_n；
（2）由題意c_n=6na_n-n，求得數列{c_n}的通項公式，由其形式得到，需要先分組，再對其中的一組用錯位相減法求和．另一組用公式求和．兩者相加求得數列{c_n}的前n項和T_n．
解答：解：（1）由，得，
∴f（x）=2^x-1，∴S_n=2ⁿ-1（n∈N^*）．
∴當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1．
當n=1時，S₁=a₁=1符合上式．
∴a_n=2^n-1（n∈N^*）．
（2）由（1）知c_n=6na_n-n=3n×2ⁿ-n．
從而T_n=3（1×2+2×2²+…+n×2ⁿ）-（1+2+…+n）
令M=1×2+2×2²+…+n×2ⁿ，
則2M=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹
作差整理得M=（n-1）•2ⁿ⁺¹
所以T_n=3（n-1）•2ⁿ⁺¹-+6．
點評：本題考查數列與函數的綜合，正確解答本題，關鍵是根據函數的由題意求出函數的解析式，以及觀察數列{c_n}的通項公式的形式，用分組技巧與錯位相減法的技巧求和，本題綜合性強，對觀察能力，轉化能力要求較高，是一個能力型題．