Question

已知定義域為R的函數(shù)f（x）滿足f（f（x）-x²+x）=f（x）-x²+x．
（I）若f（2）=3，求f（1）；又若f（0）=a，求f（a）；
（Ⅱ）設有且僅有一個實數(shù)x，使得f（x）=x，求函數(shù)f（x）的解析表達式．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意知f（f（2）-2²+2）=f（2）-2²+2，f（1）=1，由上此可推出f（a）=a．
（II）因為對任意x∈R，有f（f（x）-x²+x）=f（x）-x²+x．又因為有且只有一個實數(shù)x，使得f（x）=x
所以對任意x∈R，有f（x）-x²+x=x，因為f（x）=x，所以x-x²=0，故x=0或x=1．由此可推導出f（x）=x²-x+1（x∈R）．
解答：解：（I）因為對任意x∈R，有f（f（x）-x²+x）=f（x）-x²+x
所以f（f（2）-2²+2）=f（2）-2²+2
又由f（2）=3，得f（3-2²+2）=3-2²+2，即f（1）=1
若f（0）=a，則f（a-0²+0）=a-0²+0，即f（a）=a．
（II）因為對任意x∈R，有f（f（x）-x²+x）=f（x）-x²+x．
又因為有且只有一個實數(shù)x，使得f（x）=x
所以對任意x∈R，有f（x）-x²+x=x
在上式中令x=x，有f（x）-x²+x=x
又因為f（x）=x，所以x-x²=0，故x=0或x=1
若x=0，則f（x）-x²+x=0，即f（x）=x²-x
但方程x²-x=x有兩個不相同實根，與題設條件矛盾．故x≠0
若x=1，則有f（x）-x²+x=1，即f（x）=x²-x+1．易驗證該函數(shù)滿足題設條件．
綜上，所求函數(shù)為f（x）=x²-x+1（x∈R）
點評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應用，解題時要認真審題，仔細解答．