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設a為實數，函數f（x）=x2e-x+2a，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的極值；
（Ⅱ）當x＞0時，恒有aex＞x2，求a的取值范圍．
考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,利用導數研究函數的極值
專題：綜合題,導數的綜合應用
分析：（Ⅰ）求導數，確定函數的單調性，即可求f（x）的極值；
（Ⅱ）當x＞0時，恒有aex＞x2，分離參數，求最值，即可求a的取值范圍．
解答： 解：（Ⅰ）由題意知f（x）的定義域為R，f′（x）=e-x（2x-x2），令f′（x）=0⇒x=0或2，
列表如下：
x （-∞，0） 0 （0，2） 2 （2，+∞）
f′（x） - 0 + 0 -
f（x） 減 極小值 增 極大值 減
由上表可知f（x）極小值=f（0）=2a；f(x)極大值=f(2)=
4
e2
+2a．       …（6分）
（Ⅱ）由aex＞x2⇒a＞
x2
ex
=x2e-x，∴3a＞x2e-x+2a，?x∈（0，+∞）
令f（x）=x2e-x+2a，由（Ⅰ）可知：當x∈（0，+∞）時，x=2時，f（x）min=f（2）=
4
e2
+2a，
所以3a＞
4
e2
+2a⇒a＞
4
e2
…（12分）
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值與最值，正確運用分離參數求最值是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=Acosωx（A＞0，ω＞0）的部分圖象如圖所示，其中△PQR為等腰直角三角形，∠PQR=
π
2
，PR=1．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數y=f（x）-
1
4
在x∈[0，4]時的所有零點之和．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=ax+lnx，其中a為常數，e為自然對數的底數．
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若a＜0，且f（x）在區(qū)間（0，e]上的最大值為-2，求a的值；
（3）當a=-1時，試證明：x|f（x）|＞lnx+
1
2
x．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}的前n項和Sn=n2-4n+4（n∈N*）．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）試構造一個數列{bn}（寫出{bn}的一個通項公式）滿足：對任意的正整數n都有bn＜an，且
lim
n→∞
an
bn
=2，并說明理由；
（3）設各項均不為零的數列{cn}中，所有滿足的正整數i的個數稱為這個數列{cn}的變號數．令cn=1-
4
an
（n∈N*），求數列{cn}的變號數．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若f（x）＞0對任意的x∈R，函數f（x）=ex-ax-1（e為自然對數的底數）．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區(qū)間及最小值；
（Ⅱ）若f（x）＞0對任意的x∈R恒成立，求實數a的值；
（Ⅲ）證明：ln(1+
2
2×3
)+ln(1+
4
3×5
)+ln(1+
8
5×9
)+…+ln[1+
2n
(2n-1+1)(2n+1)
]＜1(n∈N*)．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知|
a
|=2，|
b
|=4，
a
和
b
的夾角為
π
3
，以
a
，
b
為鄰邊作平行四邊形，則該四邊形的面積為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

直線2x-y+1=0的傾斜角為θ，則
1
sin2θ-2cos2θ
的值為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知tanα=2，那么sin2α的值為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

某商店計劃投入資金20萬元經銷甲或乙兩種商品．已知經銷甲商品與乙商品所獲得的利潤分別為P和Q（萬元），且它們與投入資金x（萬元）的關系是P=
x
4
，Q=
a
2
x
（a＞0）．若不管資金如何投放，經銷這兩種商品或其中的一種商品所獲得的純利潤總不小于5萬元，則a的最小值應為
 
．

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