Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為棱DD₁，AB上的點(diǎn)．已知下列判斷：
①A₁C⊥平面B₁EF；
②△B₁EF在側(cè)面BCC₁B₁上的正投影是面積為定值的三角形；
③在平面A₁B₁C₁D₁內(nèi)總存在與平面B₁EF平行的直線；
④平面B₁EF與平面ABCD所成的二面角（銳角）的大小與點(diǎn)E的位置有關(guān)，與點(diǎn)F的位置無(wú)關(guān)．
其中正確結(jié)論的序號(hào)為

 

（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：利用線面垂直的性質(zhì)及三垂線逆定理，證明當(dāng)F與A不重合時(shí)，A₁C與平面B₁EF不垂直；可得①錯(cuò)誤；
根據(jù)射影的定義及三角形的面積公式可得射影三角形的面積；從而判斷②是否正確；
根據(jù)線面平行的判定定理可得③正確；
固定E的位置，變化F的位置，可得二面角的大小是變化的，由此可得④正確．

解答： 解：若A₁C⊥平面B₁EF，則A₁C⊥B₁F，由三垂線逆定理知：B₁F⊥A₁B，又當(dāng)F與A不重合時(shí)，B₁F與A₁B不垂直，∴①錯(cuò)誤；
∵E在側(cè)面BCC₁B₁上的投影在CC₁上，F(xiàn)在側(cè)面BCC₁B₁上的投影是B，∴△B₁EF在側(cè)面BCC₁B₁上的正投影是三角形，三角形的面積S=

1

2

×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)為定值．∴②正確；
設(shè)平面A₁B₁C₁D₁∩平面B₁EF=l，∵平面A₁B₁C₁D₁內(nèi)總存在與l平行的直線，由線面平行的判定定理得與l平行的直線，與平面B₁EF平行，∴③正確；
設(shè)E與D重合，F(xiàn)位置變化，平面B₁EF與平面ABCD所成的二面角（銳角）的大小也在變化，∴④錯(cuò)誤．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面垂直的性質(zhì)，線面平行的判斷及二面角的平面角的求法，考查了學(xué)生的空間想象能力與識(shí)圖能力，熟練掌握線面平行的判定定理及線面平行的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．