Question

已知數列．
（Ⅰ）證明：{b_n}為等差數列；
（Ⅱ）求數列{a_n}的前n項和S_n；
（Ⅲ）設，求數列{c_n}的前n項和T_n，并求使對所有的n∈N^*都成立的最大正整數m的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：∵=，
∴b_n-b_n-1=1（n≥2），
∴{b_n}是公差為1，首項為的等差數列…（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知b_n=2+（n-1）•1=n+1，
即，
∴，
∴，…（6分）
令，
∴，
∴==4+2ⁿ⁺¹-4-n•2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹=-n•2ⁿ⁺¹，
∴，∴．…（9分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，
=…（12分）
∴，
依題意有，
解得-1＜m＜6，
故所求最大正整數m的值為5…（14分）
分析：（I）由已知中，化簡可得b_n-b_n-1=1，進而根據等差數列的定義可得結論
（II）由（I）求出數列{a_n}的通項公式，進而利用錯位相減法，可得答案．
（III）結合（I）的結論，求出數列{c_n}的通項公式，進而利用裂項相消法，求出數列{c_n}的前n項和T_n，進而求出m的值，
點評：本題考查的知識點是數列求和，數列的應用及等差關系的確定，其中（I）的關鍵是熟練掌握定義法求證等差數列的步驟，（II）（III）的關鍵是熟練掌握錯位相減法和裂項相消法的適用范圍及方法步驟．