Question

設(shè)x₁、x₂是關(guān)于x的方程x²+mx+m²-m=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么過(guò)兩點(diǎn)A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²）的直線與圓（x-1）²+（y-1）²=1的位置關(guān)系是

相離

．（相交、相離、相切 ）

Answer 1

分析：根據(jù)方程x²+mx+m²-m=0根的判別式大于0，算出0＜m＜

4

3

，由根與系數(shù)的關(guān)系算出x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-m．再利用直線的斜率公式算出AB的斜率k=-m，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式算出AB的中點(diǎn)為M（-

1

2

m，-

1

2

m²+m），得出直線AB的方程為mx+y+m²-m=0．最后利用點(diǎn)到直線的距離公式，算出已知圓的圓心C到直線AB的距離大于圓C的半徑，可得直線AB與已知圓相離．

解答：解：∵x₁、x₂是關(guān)于x的方程x²+mx+m²-m=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=m²-4（m²-m）＞0，即0＜m＜

4

3

，且x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-m，
可得x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=-m²+2m，
因此，直線AB的斜率k=

x12-x22

x1-x2

=x₁+x₂=-m，
AB的中點(diǎn)為M（

1

2

（x₁+x₂），

1

2

（x₁²+x₂²）），即M（-

1

2

m，-

1

2

m²+m）
∴直線AB的方程為y-（-

1

2

m²+m）=-m（x+

1

2

m），化簡(jiǎn)得mx+y+m²-m=0
又∵圓（x-1）²+（y-1）²=1的圓心坐標(biāo)為C（1，1），半徑r=1，
∴圓心C到直線AB的距離為d=

|m2+1|

m2+1

=

m2+1

，
∵0＜m＜

4

3

，可得d=

m2+1

＞1，
∴圓心C到直線AB的距離大于圓C的半徑，可得直線與圓的位置關(guān)系是相離．
故答案為：相離

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．