Question

設橢圓E（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，A是橢圓E上一點，AF₁⊥F₁F₂，原點到直線AF₂的距離是．
（Ⅰ）求橢圓E的離心率e；
（Ⅱ）若△AF₁F₂的面積是e，求橢圓E的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若直線l：y=x+m與橢圓E交于B、C兩點，問：是否存在實數m使∠BF₂C為鈍角？如果存在，求出m的范圍；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設F₁（-c，0），F₂（c，0），由AF₁⊥F₁F₂，設A（-c，y），（y＞0），由點A在橢圓上，知，從而得，直線AF₂的方程為，由此能求出橢圓E的離心率e．
（Ⅱ）由題設，從而能得到所求橢圓方程．
（Ⅲ）設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），將直線y=x+m代入并化簡得3x²+4mx+2m²-2=0，由韋達定理和根的判別式能夠導出存在滿足條件．
解答：解：（Ⅰ）設F₁（-c，0），F₂（c，0），∵AF₁⊥F₁F₂，不妨設A（-c，y），（y＞0），
又∵點A在橢圓上，∴，從而得，直線AF₂的方程為，
整理可得b²x+2acy-b²c=0，由題設，原點O到直線AF₂的距離為，
即，將c²=a²-b²代入上式化簡得a²=2b²，∴a²=2（a²-c²），，．
（Ⅱ）由題設，∴，所求橢圓方程為．
（Ⅲ）設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），將直線y=x+m代入并化簡得3x²+4mx+2m²-2=0，由韋達定理知，，
且△=（4m）²-4×3×2（m²-1）＞0，∴，由題設∠BF₂C是鈍角，
即．∴（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂＜0，∴2x₁x₂+（m-1）（x₁+x₂）+m²+1＜0，
∴，∴3m²+4m-1＜0，
解得，上式滿足，
故存在滿足條件．
點評：本題考查橢圓的離心率的求法和橢圓方程的求法，并判斷實數m是否存在，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．