已知拋物線C：y=-x2+6，點(diǎn)P（2，4）、A、B在拋物線上，且直線PA、PB的傾斜角互補(bǔ)．
（1）證明：直線AB的斜率為定值．（2）當(dāng)直線AB在y軸上的截距為正數(shù)時，求△PAB面積的最大值及此時直線AB的方程．
【答案】分析：（1）設(shè)出A、B坐標(biāo)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出A、B橫坐標(biāo)之差，縱坐標(biāo)之差，從而求出AB斜率．
（2）設(shè)出AB直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求AB長度，計(jì)算P到AB的距離，計(jì)算△PAB面積，
使用基本不等式求最大值．
解答：解：（Ⅰ）證：易知點(diǎn)P在拋物線C上，設(shè)PA的斜率為k，則直線PA的方程是y-4=k（x-2）．
代入y=-x2+6并整理得x2+2kx-4（k+1）=0此時方程應(yīng)有根xA及2，
由韋達(dá)定理得：
2xA=-4（k+1），∴xA=-2（k+1）．∴yA=k（xA-2）+4．=-k2-4k+4．∴A（-2（k+1），-k2-4k+4）．
由于PA與PB的傾斜角互補(bǔ)，故PB的斜率為-k．
同理可得B（-2（-k+1），-k2+4k+4）
∴kAB=2．
（Ⅱ）∵AB的方程為y=2x+b，b＞0．代入方程y=-x2+6消去y得x2+2x+b-6=0．
|AB|=2．
∴S=|AB|d=•2．
此時方程為y=2x+．
點(diǎn)評：本小題主要考查直線、拋物線等基本知識，考查運(yùn)用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖1，已知拋物線C：y=3x2（x≥0）與直線x=a．直線x=b（其中0≤a≤b）及x軸圍成的曲邊梯形（陰影部分）的面積可以由公式S=b3-a3來計(jì)算，則如圖2，過拋物線C：y=3x2（x≥0）上一點(diǎn)A（點(diǎn)A在y軸和直線x=2之間）的切線為l，S1是拋物線y=3x2與切線l及直線y=0所圍成圖形的面積，S2是拋物線y=3x2與切線l及直線x=2所圍成圖形的面積，求面積s1+s2的最小值．
精英家教網(wǎng)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y=2x2與直線y=kx+2交于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過M作x軸的垂線，垂足為N，若
NA
•
NB
=0，則k=
±4
3
±4
3
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y=
14
x2在點(diǎn)A處的切線l與直線l'：y=x+1平行．
（1）求A點(diǎn)坐標(biāo)和直線l的方程；
（2）求以點(diǎn)A為圓心，且與拋物線C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y=
1
2
(x2+x)，點(diǎn)A（-1，0），B（0，2），點(diǎn)E是曲線C上的一個動點(diǎn)（E不在直線AB上），設(shè)E（x0，y0），C，D在直線AB上，ED⊥AB，EC⊥x軸．
（1）用x0表示
AE
在
AB
方向上的投影；
（2）
|
AC
|
|
AD
|
2是否為定值？若是，求此定值，若不是，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y=2x2，直線y=kx+2交C于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過M作軸的垂線交C于點(diǎn)N．  
（1）求三角形OAB面積的最小值；
（2）證明：拋物線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行；
（3）是否存在實(shí)數(shù)k使NANB，若存在，求k的值；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案