設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意n∈N*，2是an+2 和an的等比中項(xiàng)．
（Ⅰ）證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明++…+＜1；
（Ⅲ）設(shè)集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使對(duì)滿足n＞m 的一切正整數(shù)n，不等式2Sn﹣4200＞恒成立，求這樣的正整數(shù)m共有多少個(gè)？
解：（Ⅰ）由已知，4 ，且an＞0． 
當(dāng)n=1時(shí)，4 +2a1，解得a1=2．  
當(dāng)n≥2時(shí)，有4Sn﹣1= ．
于是4Sn﹣4Sn﹣1= ，
即4 ．
于是 ，即（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）=2（an+an﹣1）．
因?yàn)閍n+an﹣1＞0，所以an﹣an﹣1=2，n≥2．
故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，且an=2n．
（Ⅱ）證明：因?yàn)閍n=2n，則 ，
所以 =（1﹣ ）+（ ）+…+（ ） =1﹣ ．
（Ⅲ）由 ，得2n（n+1）﹣4200＞2n2，所以n＞2100．  
由題設(shè)，M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}．
因?yàn)閙∈M，所以m=2100，2102，…，2998均滿足條件．
且這些數(shù)組成首項(xiàng)為2100，公差為2的等差數(shù)列．
設(shè)這個(gè)等差數(shù)列共有k項(xiàng)，則2100+2（k﹣1）=2998，解得k=450．
故集合M中滿足條件的正整數(shù)m共有450個(gè)．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對(duì)任意n∈N+，都有a13+a23+a33+…+an3=Sn2，其中Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．
（Ⅰ）求證：an2=2Sn-an；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)bn=3n+（-1）n-1λ•2an（λ為非零整數(shù)，n∈N*）試確定λ的值，使得對(duì)任意n∈N*，都有bn+1＞bn成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，Sn是其前n項(xiàng)和，且對(duì)任意n∈N*都有an2=2Sn-an．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若bn=（2n+1）2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正實(shí)數(shù)，bn=log2an，若數(shù)列{bn}滿足b2=0，bn+1=bn+log2p，其中p為正常數(shù)，且p≠1．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在正整數(shù)M，使得當(dāng)n＞M時(shí)，a1•a4•a7•…•a3n-2＞a16恒成立？若存在，求出使結(jié)論成立的p的取值范圍和相應(yīng)的M的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若p=2，設(shè)數(shù)列{cn}對(duì)任意的n∈N*，都有c1bn+c2bn-1+c3bn-2+…+cnb1=-2n成立，問(wèn)數(shù)列{cn}是不是等比數(shù)列？若是，請(qǐng)求出其通項(xiàng)公式；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，它的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)（an，Sn）在函數(shù)y=
1
8
x2+
1
2
x+
1
2
的圖象上，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=
an+1
an
+
an
an+1
，其前n項(xiàng)和為T(mén)n．
（1）求an；   
（2）求證：Tn-2n＜2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•江蘇一模）設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)的和為Sn，對(duì)于任意正整數(shù)m，n，Sm+n=
2a2m(1+S2n)
-1恒成立．
（1）若a1=1，求a2，a3，a4及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若a4=a2（a1+a2+1），求證：數(shù)列{an}成等比數(shù)列．

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