Question

已知數(shù)列中，，前項(xiàng)和．

(1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2) 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)一切正整數(shù)都

成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查等差數(shù)列的證明、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、累加法、裂項(xiàng)相消法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問，將中的n用n+1代替得到新的表達(dá)式，兩式子相減得到，再將這個(gè)式子中的n用n+1代替，得到一個(gè)新的式子，兩式子相減得到，從而證明了數(shù)列為等差數(shù)列；第二問，利用第一問的結(jié)論，先計(jì)算通項(xiàng)，通過裂項(xiàng)化簡，利用裂項(xiàng)相消法求和，得到，再放縮，與作比較.

試題解析：（1）（解法一）∵

∴

∴ 3分

整理得

∴

兩式相減得 5分

即

∴，即 7分

∴ 數(shù)列是等差數(shù)列

且，得，則公差

∴ 8分

（解法二） ∵

∴

∴ 3分

整理得

等式兩邊同時(shí)除以得 ， 5分

即 6分

累加得

得 8分

（2） 由（1）知

∴ 10分

∴

12分

則要使得對(duì)一切正整數(shù)都成立，只要，所以只要

∴ 存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)一切正整數(shù)都成立，且的最小值為 14分

考點(diǎn)：等差數(shù)列的證明、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、累加法、裂項(xiàng)相消法.