Question

17．某次數(shù)學(xué)測試之后，數(shù)學(xué)組的老師對全校數(shù)學(xué)總成績分布在[105，135）的n名同學(xué)的19題成績進(jìn)行了分析，數(shù)據(jù)整理如下：

組數(shù)	分組	19題滿分人數(shù)	19題滿分人數(shù)占本組人數(shù)比例
第一組	[105，110]	15	0.3
第二組	[110，115）	30	0.3
第三組	[115，120）	x	0.4
第四組	[120，125）	100	0.5
第五組	[125，130）	120	0.6
第六組	[130，135）	195	y

（Ⅰ）補(bǔ)全所給的頻率分布直方圖，并求n，x，y的值；
（Ⅱ）現(xiàn)從[110，115）、[115，120）兩個分?jǐn)?shù)段的19題滿分的試卷中，按分層抽樣的方法抽取9份進(jìn)行展出，并從9份試卷中選出兩份作為優(yōu)秀試卷，優(yōu)秀試卷在[115，120）中的分?jǐn)?shù)記為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析 （I）利用頻率分布直方圖的性質(zhì)即可得出．
（II）現(xiàn)從[110，115）、[115，120）兩個分?jǐn)?shù)段的19題滿分的試卷中，按分層抽樣的方法抽取9份進(jìn)行展出，則分別抽取3，6份．從9份試卷中選出兩份作為優(yōu)秀試卷，優(yōu)秀試卷在[115，120）中的分?jǐn)?shù)記為ξ，取值為：0，1，2．利用P（ξ=k）=$\frac{{∁}_{3}^{2-k}{∁}_{6}^{k}}{{∁}_{9}^{2}}$即可得出．

解答 解：（I）由第一組[105，110）可得：$\frac{15}{0.01×5n}$=0.3，解得：n=1000．
∴$\frac{x}{0.03×5×1000}$=0.4，解得：x=60．
在區(qū)間[1305，135）的頻率為z，則（0.01+0.02+0.03+0.04×2+z）×5=1，解得z=0.06．
∴$\frac{195}{0.06×5×1000}$=y，解得y=0.65．
（II）現(xiàn)從[110，115）、[115，120）兩個分?jǐn)?shù)段的19題滿分的試卷中，按分層抽樣的方法抽取9份進(jìn)行展出，
則分別抽取3，6份．
從9份試卷中選出兩份作為優(yōu)秀試卷，優(yōu)秀試卷在[115，120）中的分?jǐn)?shù)記為ξ，取值為：0，1，2．
則P（ξ=k）=$\frac{{∁}_{3}^{2-k}{∁}_{6}^{k}}{{∁}_{9}^{2}}$，可得P（ξ=0）=$\frac{3}{36}$，P（ξ=1）=$\frac{18}{36}$，P（ξ=2）=$\frac{{∁}_{6}^{2}}{{∁}_{9}^{2}}$=$\frac{15}{36}$．
ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{3}{36}$	$\frac{18}{36}$	$\frac{15}{36}$

E（ξ）=0+1×$\frac{18}{36}$+2×$\frac{15}{36}$=$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查頻率分布直方圖的性質(zhì)、分層抽樣的方法、超幾何分布列及其數(shù)學(xué)期望的求法，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．