如圖,四面體ABCD中,0是BD的中點,CA=CB=CD=BD=a,AB=AD=
2
2
a

(1)求證:平面AOC⊥平面BCD;
(2)求二面角O-AC-D的余弦值.
分析:(1)先利用等腰三角形的性質(zhì)證明AO⊥BD,CO⊥BD,利用線面垂直的判定,證明BD⊥平面AOC,從而可得平面AOC⊥平面BCD;
(2)作OG⊥AC于點G,連接DG,由三垂線定理可知∠OGD為所求二面角的平面角,從而可求二面角的平面角的余弦值.
解答:(1)證明:∵BO=DO,AB=AD
∴AO⊥BD
∵BO=DO,BC=CD,∴CO⊥BD
∵AO∩CO=O,∴BD⊥平面AOC.
∵BD?平面BCD,
∴平面AOC⊥平面BCD.
(2)解:∵DO⊥平面AOC,
作OG⊥AC于點G,連接DG,由三垂線定理可知∠OGD為所求二面角的平面角.
在△DOG中,由已知可得DO=
1
2
a
,OG=
3
4
a

∴DG=
OD2+OG2
=
7
4
a

∴cos∠OGD=
OG
DG
=
3
4
a
7
4
a
=
21
7

∴所求二面角的平面角的余弦值為
21
7
點評:本題考查線面垂直、考查面面垂直,考查面面角,掌握線面、面面垂直的判定方法,作出面面角是關鍵.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

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AB=2,AC=
6

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2

(1)求證:AO⊥平面BCD;
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精英家教網(wǎng)如圖,四面體ABCD中,O、E分別是BD、BC的中點,AO⊥平面BCD,CA=CB=CD=BD=2.
(1)求證:面ABD⊥面AOC;
(2)求異面直線AE與CD所成角的大。

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