Question

已知函數(shù)
（1）判斷并證明y=f（x）在x∈（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）若存在x，使f（x）=x，則稱x為函數(shù)f（x）的不動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)已知該函數(shù)有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求a的值，并求出不動(dòng)點(diǎn)x；
（3）若f（x）＜2x在x∈（0，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先對函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行化簡，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷．
（2）令轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，根據(jù)該函數(shù)有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，令判別式等于0即可求出a的值．
（3）將函數(shù)解析式代入f（x）＜2x中，整理為，在根據(jù)基本不等式的知識(shí)求出的最小值，令此最小值大于，即可求出a的范圍．
解答：解：（1）
對任意的x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＞x₂

∵x₁＞x₂＞0
∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，函數(shù)y=f（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）解：令，
令（負(fù)值舍去）
將代入ax²-x+a=0得
（3）∵f（x）＜2x
∴
∵x＞0
∴（等號(hào)成立當(dāng)）
∴
∴a的取值范圍是
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的定義和基本不等式的應(yīng)用．考查計(jì)算能力和綜合運(yùn)用能力．