Question

已知函數(shù)（）.
（1）證明：當時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，并寫出當時的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知函數(shù)，函數(shù)，若對任意，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）證明詳見解析，在是減函數(shù)，在是增函數(shù)；（2）.

試題分析：（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明即①設(shè)；②作差：；③因式分解到最簡；④根據(jù)條件判定符號；⑤作出結(jié)論，經(jīng)過這五步即可證明在單調(diào)遞減，同理可證在是增函數(shù)，最后由奇函數(shù)的性質(zhì)得出；在是減函數(shù)，在是增函數(shù)；（2）先將“對任意，總存在，使得成立”轉(zhuǎn)化為“函數(shù)在區(qū)間的值域包含了在區(qū)間的值域”，分別根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出這兩個函數(shù)的值域，最后由集合的包含關(guān)系即可得到的取值范圍.
試題解析：（1）證明：當時
①設(shè)是區(qū)間上的任意兩個實數(shù)，且，則

∵，∴，
∴，即
∴在是減函數(shù)   4分
②同理可證在是增函數(shù)        5分
綜上所述得：當時， 在是減函數(shù)，在是增函數(shù)    6分
∵函數(shù)是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)圖像的性質(zhì)可得
當時，在是減函數(shù)，在是增函數(shù)   8分
（2）∵ （）  8分
由（1）知：在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增
∴
，     10分
又∵在單調(diào)遞減
∴由題意知：
于是有：，解得      12分.