Question

已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，PD=3，
（1）求PB與平面ABCD所成角的大��；
（2）求異面直線PC與BD的夾角大小．

Answer 1

解：（1）因為PD⊥平面ABCD，
所以∠PBD是PB與平面ABCD所成角．
因為正方形ABCD的邊長為1，
所以BD=，
所以在△PDB中，BD=，PD=3，
所以tan∠PBD=，
所以PB與平面ABCD所成角的大小為arctan．
（2）連接AC交BD于點O，取AP的中點為E，連接DE，OE，

因為四邊形ABCD為正方形，
所以點O為AC的中點，
又因為E為AP的中點，
所以O(shè)E∥PC，并且OE=PC，
所以∠EOD與所求角相等或互補(bǔ)．
因為正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，PD=3，
所以PC=AP=，OD=，
所以O(shè)E=DE=．
在△OED中，cos∠EOD==，
所以異面直線PC與BD的夾角大小為arccos．
分析：（1）由題意可得：∠PBD是PB與平面ABCD所成角，在△PDB中有BD=，PD=3，進(jìn)而求出∠PBD的正切值，即可得到答案．
（2）連接AC交BD于點O，取AP的中點為E，連接DE，OE，由題意可得OE∥PC，得到∠EOD與所求角相等或互補(bǔ)，在△OED中再利用解三角形的有關(guān)知識求出答案即可．
點評：本題主要考查線面角與線線角，求空間角的步驟是：做角，證角，求角，而由圖形的結(jié)構(gòu)及題設(shè)條件正確作出空間角來，是求角的關(guān)鍵，此題屬于中檔題．