已知拋物線的焦點(diǎn)為F，以點(diǎn)為圓心，|AF|為半徑的圓在x軸的上方與拋物線交于M、N兩點(diǎn)。

   （I）求證：點(diǎn)A在以M、N為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)F的橢圓上；

   （II）設(shè)點(diǎn)P為MN的中點(diǎn)，是否存在這樣的a，使得|FP|是|FM|與|FN|的等差中項(xiàng)？如果存在，求出實(shí)數(shù)a的值；如果不存在，請說明理由。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 

解：（I）因?yàn)樵搾佄锞�的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，故|FA|=4

所以，該圓的方程為

它與軸的上方交于

把中并化簡得：

（1）

（2）

（3）
 

由（1）（2）（3）得

又由拋物線定義可得：

所以|FM|+|FN|=

而|MN|<|FM|+|FN|=8

又點(diǎn)F，M，N均在圓上，所以，|AN|=|AM|=|AF|=4

所以，|AM|+||AN=8，

因?yàn)椋瑋AM|+|AN|=|FM|+|FN|=8，|MN|<8

所以，點(diǎn)A在以M、N為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)F的橢圓上，  ………………8分

   （II）若存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，

則有

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

由（2）（3）得

這與矛盾

故不存在這樣的a，使得|FP|是|FM|與|FN|的等差中項(xiàng)  ………………13分

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如圖,已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，其準(zhǔn)線與x軸交于K點(diǎn).

（1）求證：KF平分∠MKN；

（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線MO、NO分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)P、Q，求的最小值.

 

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已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過拋物線在第一象限部分上一點(diǎn)P的切線為，過P點(diǎn)作平行于軸的直線，過焦點(diǎn)F作平行于的直線交于M，若，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為         。

 

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（本小題滿分12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)C。

（1）證明：；

（2）求的最大值，并求取得最大值時(shí)線段AB的長。

 

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(本小題滿分12分)（注意：在試題卷上作答無效）

已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為D .

（Ⅰ）證明：點(diǎn)F在直線BD上；

（Ⅱ）設(shè)，求的內(nèi)切圓M的方程 .

 

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已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為，經(jīng)過F且斜率為的直線與拋物線在軸上方的部分相交于點(diǎn)A，且AK，垂足為K，則的面積是（　　）

A　4　　　  B　　      C　　　　   D　8

 

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