Question

4．函數(shù)f（x）對于任意的a，b∈R均有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，且當(dāng)x＞0時，f（x）＞1成立．
（1）求證為R上的增函數(shù)；
（2）若$f（{\sqrt{m}}）+f（{\sqrt{m}•x}）＞f（{{x^2}-1}）+1$對一切滿足$\frac{1}{16}≤m≤\frac{1}{4}$的m恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)x₁＞x₂，結(jié)合f（a+b）=f（a）+f（b）-1，可得f（x₂-x₁）=f（x₁-x₂）-1，由x＞0時，有f（x）＞1，可得f（x₁）＞f（x₂），證明函數(shù)在R上單調(diào)遞增；
（2）根據(jù)已知條件，原不等式轉(zhuǎn)化為（1+x）$\sqrt{m}$＞x²-1，對$\frac{1}{16}≤m≤\frac{1}{4}$恒成立，令t=$\sqrt{m}$，則t∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]，原式等價于（1+x）t＞x²-1，t∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]恒成立，
構(gòu)造函數(shù)，求出x的范圍即可．

解答 解：（1）證明：設(shè)x₁＞x₂（x₁，x₂∈R），則x₁-x₂＞0，又當(dāng)x＞0時，f（x）＞1，
所以f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=f（x₁-x₂）+f（x₂）-1-f（x₂）=f（x₁-x₂）-1＞1-1=0，
所以f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）為R上的增函數(shù)；
（2）因?yàn)閒（x）為R上的增函數(shù)，由$f（{\sqrt{m}}）+f（{\sqrt{m}•x}）＞f（{{x^2}-1}）+1$，
∴f[（1+x）$\sqrt{m}$]＞f（x²-1），
∴（1+x）$\sqrt{m}$＞x²-1，對$\frac{1}{16}≤m≤\frac{1}{4}$恒成立
令t=$\sqrt{m}$，則t∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]，
原式等價于（1+x）t＞x²-1，t∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]恒成立，
令g（t）=（1+x）t-x²+1，要使得$g（t）＞0在t∈[{\frac{1}{4}，\frac{1}{2}}]$時恒成立，
只需要$\left\{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{4}）＞0}\\{g（\frac{1}{2}）＞0}\end{array}\right.$，
解得-1＜x＜$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)單調(diào)性的判斷，考查不等式恒成立思想的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．