Question

已知（1+2x）ⁿ的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和是243．
（1）求n的值，并求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）求S_n=C_n¹+2C_n²+2²C_n³+2³C_n⁴+…+2^n-1C_nⁿ值．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項(xiàng)式定理

分析：（1）由條件得：3ⁿ=243，求得 n=5，再根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．
（2）由（1）得S_n=S₅=C_n¹+2C_n²+2²C_n³+2³C_n⁴ +2⁴•

C

5 5

=

1

2

[（1+2）⁵-

C

0 5

]，計(jì)算求得結(jié)果．

解答： 解（1）由條件得：3ⁿ=243，求得 n=5．
∴展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T₃=

C

2 5

•（2x）²=40x²；和 T₄=

C

3 5

•（2x）³=80x³．
（2）由（1）得n=5，S_n=S₅=C_n¹+2C_n²+2²C_n³+2³C_n⁴ +2⁴•

C

5 5

=

1

2

（2C_n¹ +2²C_n²+2³C_n³+2⁴C_n⁴ +2⁵•

C

5 5

）=

1

2

[（1+2）⁵-

C

0 5

]=121．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．