Question

設(shè)f′（x）和g′（x）分別是f（x）和g（x）的導(dǎo)函數(shù)，若f′（x）g′（x）≤0在區(qū)間I上恒成立，則稱f（x）和g（x）在區(qū)間I上單調(diào)性相反．若函數(shù)f（x）=

1

3

x³-2ax與g（x）=x²+2bx在開區(qū)間（a，b）上單調(diào)性相反（a＞0），則b-a的最大值為（　　）

• A、

  1

  2

• B、1
• C、

  3

  2

• D、2

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由條件知g′（x）＞0恒成立，得f′（x）≤0恒成立，從而求出a、b的取值范圍，建立b-a的表達(dá)式，求出最大值．

解答： 解：∵f（x）=

1

3

x³-2ax，g（x）=x²+2bx，
∴f′（x）=x²-2a，g′（x）=2x+2b；
由題意得f′（x）g′（x）≤0在（a，b）上恒成立，
∵a＞0，∴b＞a＞0，∴2x+2b＞0恒成立，
∴x²-2a≤0恒成立，即-

2a

≤x≤

2a

；
又∵0＜a＜x＜b，∴b≤

2a

，
即0＜a≤

2a

，解得0＜a≤2；
∴b-a≤

2a

-a=-(

a

-

2

2

)2+

1

2

，當(dāng)a=

1

2

時(shí)，取“=”，
∴b-a的最大值為

1

2

．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性問題，也考查了不等式的解法問題，屬于中檔題．