Question

已知直線y=-2x-

2

3

與曲線f(x)=

1

3

x3-bx相切．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若方程f（x）=x²+m在（0，+∞）上有兩個解x₁，x₂，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求出導(dǎo)函數(shù)f'（x），設(shè)出切點（x₀，y₀），然后根據(jù)在x=x₀的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率，切點在切線和函數(shù)f（x）的圖象上，建立方程組，解之即可求出b的值；
（II）構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-x2-m=

1

3

x3-x2-3x-m，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h（x）的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化成使h（x）圖象在（0，+∞）內(nèi)與x軸有兩個不同的交點，建立關(guān)系式，解之即可求出m的范圍．

解答：解：（I）∵f(x)=

1

3

x3-bx，∴f'（x）=x²-b，
設(shè)切點為（x₀，y₀），依題意得∴

1 3 x 3 0 -bx0=y0 y0=-2x0- 2 3 x 2 0 -b=-2

解得：b=3
（II）設(shè)h(x)=f(x)-x2-m=

1

3

x3-x2-3x-m
h′（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3），
令h′（x）=0，得x=-1或x=3
在（0，3）上，h′（x）＜0，故h（x）在（0，3）上單調(diào)遞減，
在（3，+∞）上，h′（x）＞0，故h（x）在（3，+∞）上是單調(diào)遞增，
若使h（x）圖象在（0，+∞）內(nèi)與x軸有兩個不同的交點，
則需

h(0)=-m＞0 h(3)=-9-m＜0

∴-9＜m＜0．
此時存在x＞3時，h（x）＞0，
例如x=5時，h=

125

3

-25=15-m=

5

3

-m＞0.
∴所求m的范圍是-9＜m＜0．

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用等基礎(chǔ)題知識，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．