Question

20．（本小題滿分14分）
已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線交拋物線于、兩點(diǎn)；橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，點(diǎn)是它的一個(gè)頂點(diǎn)，且其離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）經(jīng)過、兩點(diǎn)分別作拋物線的切線、，切線與相交于點(diǎn)．證明：；
（3）橢圓上是否存在一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)作拋物線的兩條切線、（、為切點(diǎn)），使得直線過點(diǎn)？若存在，求出拋物線與切線、所圍成圖形的面積；若不存在，試說明理由．
 

Answer 1

,

20．（本小題滿分14分）
(考查橢圓、拋物線、直線、定積分等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想、以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力)
解：（1）設(shè)橢圓的方程為，半焦距為.
由已知條件，得，
∴
解得 .
所以橢圓的方程為：.                  …………分
（2）顯然直線的斜率存在，否則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，
故可設(shè)直線的方程為 ，，
由   
消去并整理得，
∴  .                                  …………分
∵拋物線的方程為，求導(dǎo)得，
∴過拋物線上、兩點(diǎn)的切線方程分別是
， ，
即 ，  ，
解得兩條切線、的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，……分
∴
∴.                                                      …………分
（3）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，由（2）知點(diǎn)必在直線上，又直線與橢圓有唯一交點(diǎn)，故的坐標(biāo)為，
設(shè)過點(diǎn)且與拋物線相切的切線方程為：，其中點(diǎn)為切點(diǎn).
令得，，
解得或 ，                                    …………分
故不妨取，即直線過點(diǎn).
綜上所述，橢圓上存在一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)作拋物線的兩條切線、（、為切點(diǎn)），能使直線過點(diǎn).
此時(shí)，兩切線的方程分別為和.             …………分
拋物線與切線、所圍成圖形的面積為
 .