【題目】設(shè)函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),記,是否存在整數(shù),使得關(guān)于的不等式有解?若存在,請(qǐng)求出的最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1) 當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是;單調(diào)增區(qū)間是;當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是;無(wú)單調(diào)減區(qū)間;當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是;單調(diào)增區(qū)間是.(2) 存在整數(shù)滿(mǎn)足題意,且的最小值為0.
【解析】試題分析:
本題考查用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性和用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)中的能成立問(wèn)題.(1)求導(dǎo)后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性.(2)由題意只需求出函數(shù)的最小值即可,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.
試題解析:
⑴由題意得函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.
∵,
∴,
①當(dāng)時(shí),
則當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞增.
②當(dāng)時(shí), 恒成立, 上單調(diào)遞增.
③當(dāng)時(shí),
則當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞增.
綜上,當(dāng)時(shí), 上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),函數(shù)上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí), ,在上單調(diào)遞增.
(2)當(dāng)時(shí), ,
∴,
∴函數(shù)單調(diào)遞增,
又, ,
所以存在唯一的,使得,
且當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞增,
所以,
設(shè),
則在上單調(diào)遞減,
所以,即.
若關(guān)于的不等式有解,則,
又為整數(shù),所以.
所以存在整數(shù)滿(mǎn)足題意,且的最小值為0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是某直三棱柱被削去上底后的直觀圖與三視圖的側(cè)視圖、俯視圖,在直觀圖中,M是BD的中點(diǎn), ,側(cè)視圖是直角梯形,俯視圖是等腰直角三角形,有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示.
(Ⅰ)求證:EM∥平面ABC;
(Ⅱ)求出該幾何體的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知在極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系中,極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合,極軸與軸的非負(fù)半軸重合,曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為,曲線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)求曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程和曲線(xiàn)的普通方程;
(2)判斷曲線(xiàn)與曲線(xiàn)的位置關(guān)系,若兩曲線(xiàn)相交,求出兩交點(diǎn)間的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】根據(jù)國(guó)家環(huán)保部新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定:居民區(qū)的年平均濃度不得超過(guò)3S微克/立方米, 的24小時(shí)平均濃度不得超過(guò)75微克/立方米.某市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一居民區(qū)2016年20天的24小時(shí)平均濃度(單位:微克/立方米)的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如圖表:
組別 | 濃度(微克/立方米) | 頻數(shù)(天) | 頻率 |
第一組 | 3 | 0.15 | |
第二組 | 12 | 0.6 | |
第三組 | 3 | 0.15 | |
第四組 | 2 | 0.1 |
(Ⅰ)將這20天的測(cè)量結(jié)果按表中分組方法繪制成的樣本頻率分布直方圖如圖.
(ⅰ)求圖中的值;
(ⅱ)在頻率分布直方圖中估算樣本平均數(shù),并根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想,從的年平均度考慮,判斷該居民區(qū)的環(huán)境質(zhì)量是否需要改善?并說(shuō)明理由.
(Ⅱ)將頻率視為概率,對(duì)于2016年的某3天,記這3天中該居民區(qū)的24小時(shí)平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的天數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若為的極值點(diǎn),求的值;
(Ⅱ)若在單調(diào)遞增,求的取值范圍.
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),方程有實(shí)數(shù)根,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知.
(1)求C;
(2)若c=,△ABC的面積為,求△ABC的周長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),記,是否存在整數(shù),使得關(guān)于的不等式有解?若存在,請(qǐng)求出的最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了響應(yīng)我市“創(chuàng)建宜居港城,建設(shè)美麗莆田”,某環(huán)保部門(mén)開(kāi)展以“關(guān)愛(ài)木蘭溪,保護(hù)母親河”為主題的環(huán)保宣傳活動(dòng),將木蘭溪流經(jīng)市區(qū)河段分成段,并組織青年干部職工對(duì)每一段的南、北兩岸進(jìn)行環(huán)保綜合測(cè)評(píng),得到分值數(shù)據(jù)如下表:
南岸 | 77 | 92 | 84 | 86 | 74 | 76 | 81 | 71 | 85 | 87 |
北岸 | 72 | 87 | 78 | 83 | 83 | 85 | 75 | 89 | 90 | 95 |
(Ⅰ)記評(píng)分在以上(包括)為優(yōu)良,從中任取一段,求在同一段中兩岸環(huán)保評(píng)分均為優(yōu)良的概率;
(Ⅱ)根據(jù)表中數(shù)據(jù)完成下面莖葉圖;
(Ⅲ)分別估計(jì)兩岸分值的中位數(shù),并計(jì)算它們的平均值,試從計(jì)算結(jié)果分析兩岸環(huán)保情況,哪邊保護(hù)更好.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】關(guān)于函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性與周期性,有下列說(shuō)法:①若函數(shù)y=f(x)滿(mǎn)足f(x+1)=f(3+x),則f(x)的一個(gè)周期為T=2;②若函數(shù)y=f(x)滿(mǎn)足f(x+1)=f(3-x),則f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng);③函數(shù)y=f(x+1)與函數(shù)y=f(3-x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng);④若函數(shù)與函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則,其中正確的個(gè)數(shù)是()
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
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