Question

若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=2x²-4x（如圖）．
（Ⅰ）請(qǐng)補(bǔ)全函數(shù)f（x）的圖象；
（Ⅱ）寫(xiě)出函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（Ⅲ）用定義證明函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)這一性質(zhì)即可補(bǔ)全函數(shù)f（x）的圖象．
（Ⅱ）任取x∈（-∞，0），則-x∈（0，+∞）f（-x）=2（-x）²-4（-x）=2x²+4x再根據(jù)f（x）為奇函數(shù)即滿足f（x）=-f（-x）即可求出f（x）在x∈（-∞，0）的解析式從而即可求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式．
（Ⅲ）直接根據(jù)單調(diào)遞增函數(shù)的定義證明即可．

解答：（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）如圖所示．    …（4分）
（Ⅱ）任取x∈（-∞，0），則-x∈（0，+∞）
由f（x）為奇函數(shù)，
則f（x）=-f（-x）=-[2（-x）²-4（-x）]=-2x²-4x…（6分）
綜上所述，f(x)=

2x2-4x  ， x≥0  -2x2-4x，x＜0

…（7分）
評(píng)分建議：
用待定系數(shù)法也可以完成，參照以上評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分；
觀察圖象，直接得出函數(shù)解析式，沒(méi)有中間過(guò)程，建議這次不扣分；
如果最后結(jié)果不寫(xiě)成分段形式，應(yīng)當(dāng)扣（1分）．
（Ⅲ）任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，…（8分）
則f（x₁）-f（x₂）=(2x12-4x1)-(2x22-4x2)…（9分）
=(2x12-2x22)-(4x1-4x2)
=2（x₁+x₂）（x₁-x₂）-4（x₁-x₂）
=2（x₁-x₂）[（x₁+x₂）-2]…（10分）
∵x₁＜x₂∴x₁-x₂＜0
又由x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，所以x₁+x₂＞2，∴（x₁+x₂）-2＞0
∴2（x₁-x₂）[（x₁+x₂）-2]＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）…（11分）
∴函數(shù)f（x）=2x²-4x在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增．…（12分）
評(píng)分建議：如果不強(qiáng)調(diào)取值的任意性，建議酌情扣（1分）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了奇函數(shù)的定義和性質(zhì)以及利用定義法證明單調(diào)函數(shù)，屬中檔題，較難．解題的關(guān)鍵是透徹理解奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)且有f（x）=-f（-x）這是求解f（x）的表達(dá)式的關(guān)鍵所在并且結(jié)果要寫(xiě)成分段函數(shù)的形式而對(duì)于利用定義法證明單調(diào)函數(shù)要抓住作差--變形--定號(hào)--下結(jié)論這四步即可！