Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（2x-）．
（1）求f（x）的最小值及f（x）取到最小值時自變量x的集合；
（2）指出函數(shù)y=f（x）的圖象可以由y=sinx的圖象經過哪些變換得到；
（3）當x∈[0，m]時，函數(shù)y=f（x）的值域為[-，2]，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）=2sin（2x-），故 y_min=-2．此時，2x-=2kπ-，即x=kπ-，k∈Z，
即此時自變量x的集合是{x|x=kπ-，k∈Z}． …（3分）
（2）把y=sinx圖象向右平移，得到函數(shù)y=sin（x-）的圖象．
再把函數(shù)y=sin（x-）的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png' />，
得到函數(shù)y=sin（2x-）的圖象．
最后再把函數(shù)y=sin（2x-）的圖象上所有點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，
得到函數(shù)y=2sin（2x-）的圖象． …（6分）
（3）∵當x∈[0，m]時，函數(shù)y=f（x）的值域為[-，2]，
又當x∈[0，m]時，有-≤2x-≤2m-，且y取到最大值2，f（0）=-，
所以2m-≥，故 m≥． …（8分）
又函數(shù)y=f（x）在[，]上是單調減函數(shù)，令2sin（2x-）=-，可得 x=．
所以m的取值范圍是[，]．…（10分）
分析：（1）根據函數(shù)f（x）=2sin（2x-），可得 y_min=-2，此時2x-=2kπ-，從而求得f（x）取到最小值時自變量x的集合．
（2）根據函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律，得出結論．
（3）由條件可得2m-≥，即 m≥．又函數(shù)y=f（x）在[，]上是單調減函數(shù)，令2sin（2x-）=-，解得 x=，由此可得m的取值范圍．
點評：本題主要考查復合三角函數(shù)的單調性和最值，函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．