Question

已知y=f（x）=xlnx．
（1）求函數(shù)y=f（x）的圖象在x=e處的切線方程；
（2）設(shè)實數(shù)a＞0，求函數(shù)F(x)=

f(x)

a

在[a，2a]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=e處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（2）先求出F（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)F′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，F(xiàn)′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，求出極值，再比較極值和端點處的函數(shù)值的大小，最后確定出最大值即可．

解答：解：（1）∵f（x）定義域為（0，+∞）f′（x）=lnx+1
∵f（e）=e又∵k=f′（e）=2
∴函數(shù)y=f（x）的在x=e處的切線方程為：y=2（x-e）+e，即y=2x-e
（2）F′(x)=

1

a

(lnx+1)令F′（x）=0得x=

1

e

當(dāng)x∈(0，  

1

e

)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈(

1

e

， +∞)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增．
∴F（x）在[a，2a]上的最大值F_max（x）=max{F（a），F(xiàn)（2a）}
∵F（a）-F（2a）=lna-2ln2a=ln

1

4a

∴當(dāng)0＜a≤

1

4

時，F(xiàn)（a）-F（2a）≥0，F(xiàn)_max（x）=F（a）=lna
當(dāng)a＞

1

4

時，F(xiàn)（a）-F（2a）＜0，F(xiàn)_max（x）=F（2a）=2ln2a．

點評：本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．