Question

（2013•自貢一模）已知函數(shù)f(x)=alnx+

a+1

2

x2+1．
（Ⅰ）當a=-

1

2

時，求f（x）在區(qū)間[

1

e

，e]上的最值；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定f（x）的定義域，求導(dǎo)數(shù)，確定f（x）在區(qū)間[

1

e

，e]上的最值只可能在f(1)，f(

1

e

)，f(e)取到，即可求得結(jié)論；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負，即可確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

解答：解：（Ⅰ）當a=-

1

2

時，f(x)=-

1

2

lnx+

x2

4

+1，
∴f′(x)=

-1

2x

+

x

2

=

x2-1

2x

．
∵f（x）的定義域為（0，+∞），∴由f'（x）=0得x=1．---------------------------（3分）
∴f（x）在區(qū)間[

1

e

，e]上的最值只可能在f(1)，f(

1

e

)，f(e)取到，
而f(1)=

5

4

，f(

1

e

)=

3

2

+

1

4e2

，f(e)=

1

2

+

e2

4

，
∴f(x)max=f(e)=

1

2

+

e2

4

，f(x)min=f(1)=

5

4

．---------------------------（6分）
（Ⅱ）f′(x)=

(a+1)x2+a

x

，x∈(0，+∞)．
①當a+1≤0，即a≤-1時，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；-------------（7分）
②當a≥0時，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；----------------（8分）
③當-1＜a＜0時，由f'（x）＞0得x2＞

-a

a+1

，∴x＞

-a a+1

或x＜-

-a a+1

（舍去）
∴f（x）在(

-a a+1

，+∞)單調(diào)遞增，在(0，

-a a+1

)上單調(diào)遞減；--------------------（10分）
綜上，當a≥0時，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
當-1＜a＜0時，f（x）在(

-a a+1

，+∞)單調(diào)遞增，在(0，

-a a+1

)上單調(diào)遞減．
當a≤-1時，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；-----------------------（12分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確分類是關(guān)鍵．