Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinx+cosx，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期
（2）求f（x）的最大值及此時x的取值集合；
（3）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),復合三角函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）化簡可得f（x）=2sin（x+

π

6

），由周期公式可得；
（2）當x+

π

6

=2kπ+

π

2

時，f（x）取最大值2，易得此時x的集合；
（3）由2kπ+

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

解不等式可得單調(diào)遞減區(qū)間．

解答： 解：（1）化簡可得f（x）=

3

sinx+cosx=2sin（x+

π

6

），
∴f（x）的最小正周期T=

2π

1

=2π；
（2）當x+

π

6

=2kπ+

π

2

，即x=2kπ+

π

3

，k∈Z時，
f（x）取最大值2，此時x的取值集合為{x|x=2kπ+

π

3

，k∈Z}；
（3）由2kπ+

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

可得2kπ+

π

3

≤x≤2kπ+

4π

3

，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ+

π

3

，2kπ+

4π

3

]，（k∈Z）

點評：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，涉及設(shè)計師的周期性和單調(diào)性及最值，屬基礎(chǔ)題．