Question

已知雙曲線的焦點在y軸上，兩頂點間的距離為4，漸近線方程為y=±2x．
（Ⅰ）求雙曲線的標準方程；
（Ⅱ）設（Ⅰ）中雙曲線的焦點F₁，F(xiàn)₂關于直線y=x的對稱點分別為F₁′，F(xiàn)₂′，求以F₁′，F(xiàn)₂′為焦點，且過點P（0，2）的橢圓方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)雙曲線的焦點在y軸上，設所求雙曲線的方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1．由題意，列出關于a，b的方程，解得a=2，b=1．從而寫出雙曲線的方程即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得F₁（0，-

5

），F(xiàn)₂（0，

5

）．根據(jù)點F₁，F(xiàn)₂關于直線y=x的對稱點分別為F₁′（-

5

，0），F(xiàn)₂′（

5

，0），設橢圓方程為

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞n＞0）．由橢圓定義，得出m，n的值，從而寫出橢圓的方程即可．

解答：解：（Ⅰ）因為雙曲線的焦點在y軸上，設所求雙曲線的方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1．
由題意，得

2a=4 a b =2

解得a=2，b=1．
所求雙曲線的方程為

y2

4

-x2=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得F₁（0，-

5

），F(xiàn)₂（0，

5

）．
點F₁，F(xiàn)₂關于直線y=x的對稱點分別為F₁′（-

5

，0），F(xiàn)₂′（

5

，0），又P（0，2），設橢圓方程為

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞n＞0）．
由橢圓定義，得2m=6，∴m=3
因為m²-n²=5，所以n²=4．
所以橢圓的方程為

x2

9

+

y2

4

=1．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．突出考查了數(shù)形結合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉化等數(shù)學思想方法．