Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g(x)=

1

2

x2+a（a為常數(shù)），若直線l與y=f（x）和y=g（x）的圖象都相切，且l與y=f（x）的圖象相切于定點(diǎn)P（1，f（1））．
（1）求直線l的方程及a的值；
（2）當(dāng)k∈R時(shí)，討論關(guān)于x的方程f（x²+1）-g（x）=k的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）=lnx在定點(diǎn)P（1，f（1））處的切線斜率，從而得到直線l的方程，再根據(jù)直線l與y=g（x）相切，聯(lián)立方程組，消去y，根據(jù)△=0可求出a的值；
（2）令h（x）=f（x²+1）-g（x），然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的極值，畫(huà)出草圖，討論k的取值范圍，從而判別方程f（x²+1）-g（x）=k的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)．

解答：解：（1）f′(x)=

1

x

，∴f'（1）=1．∴切點(diǎn)為（1，0）．
∴l(xiāng)的解析式為y=x-1．（2分）
又l與y=g（x）相切，
∴

y=x-1 y= 1 2 x2+a

⇒x2-2x+2a+2=0
△=（-2）²-4（2a+2）=0⇒a=-

1

2

（5分）
（2）令h(x)=f(x2+1)-g(x)=ln(x2+1)-

1

2

x2+

1

2

∴h′(x)=

2x

x2+1

-x=

-x3+x

x2+1

=-

x(x+1)(x-1)

x2+1

（7分）
令h'（x）=0⇒x₁=0，x_2，3=±1．

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
h'（x）	+	0	-		+		-
h（x）	↗	極大值ln2	↘	極小值 1 2	↗	極大值ln2	↘

1°k∈（ln2，+∞）時(shí)，方程無(wú)解．
2°當(dāng)k=ln2時(shí)，方程有2解．
3°當(dāng)

1

2

＜k＜ln2，方程有4解
.4°當(dāng)k=

1

2

時(shí)，方程有3解．
5°當(dāng)k＜

1

2

時(shí)，方程有2解．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，同時(shí)考查了畫(huà)圖能力以及分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．