Question

已知函數(shù)f(x)=ex+

1

x-a

．
（1）當(dāng)a=

1

2

時，求f（x）在x=0處的切線方程；
（2）函數(shù)f（x）是否存在零點，若存在，求出零點的個數(shù)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）欲求曲線y=f（x）在其上一點x=0處的切線的方程，只須求出切線斜率，切點坐標(biāo)即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=0處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，利用函數(shù)求出切點坐標(biāo)，進(jìn)而得切線方程；
（2）由于函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，a）∪（a，+∞）．下面對x的范圍進(jìn)行分類討論：當(dāng)x∈（a，+∞）時，f（x）在區(qū)間（a，+∞）上沒有零點．當(dāng)x∈（-∞，a）時，令g（x）=e^x（x-a）+1．構(gòu)造新函數(shù)，對新函數(shù)求導(dǎo)，做出函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最小值，從而得到要求的結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=ex+

1

x-a

，f′(x)=ex-

1

(x-a)2

，f′(0)=1-

1

a2

．
當(dāng)a=

1

2

時，f'（0）=-3．又f（0）=-1．                        …．．（2分）
則f（x）在x=0處的切線方程為y=-3x-1．                     …．．（4分）
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，a）∪（a，+∞）．
當(dāng)x∈（a，+∞）時，ex＞0，

1

x-a

＞0，所以f(x)=ex+

1

x-a

＞0．
即f（x）在區(qū)間（a，+∞）上沒有零點．                            …．．（6分）
當(dāng)x∈（-∞，a）時，f(x)=ex+

1

x-a

=

ex(x-a)+1

x-a

，
令g（x）=e^x（x-a）+1．                                         …（7分）
只要討論g（x）的零點即可．g'（x）=e^x（x-a+1），g'（a-1）=0．
當(dāng)x∈（-∞，a-1）時，g'（x）＜0，g（x）是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（a-1，a）時，g'（x）＞0，g（x）是增函數(shù)．
所以g（x）在區(qū)間（-∞，a）最小值為g（a-1）=1-e^a-1．                   …．．（9分）
顯然，當(dāng)a=1時，g（a-1）=0，所以x=a-1是f（x）的唯一的零點；
當(dāng)a＜1時，g（a-1）=1-e^a-1＞0，所以f（x）沒有零點；
當(dāng)a＞1時，g（a-1）=1-e^a-1＜0，所以f（x）有兩個零點．       …．．（12分）

點評：本題以函數(shù)為載體，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．