Question

（本小題滿分13分）

如圖，在以點O為圓心，|AB|=4為直徑的半圓ADB中，OD⊥AB，P是半圓弧上一點，

∠POB=30°，曲線C是滿足||MA|-|MB||為定值的動點M的軌跡，且曲線C過點P。

（Ⅰ）建立適當的平面直角坐標系，求曲線C的方程；

（Ⅱ）設過點D的直線l與曲線C相交于不同的兩點E、F。若△OEF的面積不小于2，求直線l斜率的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）解法1：以為原點，、所在直線分別為軸、軸，建立平面直角坐標系，則，

由題意得。

所以曲線是以原點為中心，、為焦點的雙曲線。

設實半軸長為，虛半軸長為，半焦距為，

則

所以曲線的方程為。

解法2：同解法1建立平面直角坐標系，則由題意可得

所以曲線是以原點為中心，、為焦點的雙曲線。

設雙曲線的方程為

則由解得，

所以曲線的方程為。

（Ⅱ）解法1：由題意，可設直線的方程為，代入雙曲線的方程并整理得

……①

因為與雙曲線相交不同的兩點E、F，

……②

設則由①式得，于是

.

而原點到直線的距離,

若面積不小于，即，則有,

解得……③

綜合②、③知，直線的斜率的取值范圍為。

解法2：依題意，可設直線l的方程為y＝kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，

得（1-k²）x²-4kx-6=0。

∵直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，

∴     。

∴k∈（-，-1）∪（-1，1）∪（1，）。

設E(x₁,y₁),F(x₂,y₂),則由①式得

｜x₁-x₂｜=           ③

當E、F在同一支上時（如左圖所示），

S_△OEF＝

當E、F在不同支上時（如右圖所示）。

S_△ODE=

綜上得S_△OEF＝于是

由｜OD｜＝2及③式，得S_△OEF=

若△OEF面積不小于2

     �、�

綜合②、④知，直線l的斜率的取值范圍為[-，-1]∪（-1，1）∪（1，）。

本題條件涉及到一動點到兩定點距離差的絕對值，容易想到雙曲線的定義，所以第（1）問只要求求了出雙曲線方程中的與。第（2）涉及到直線與圓錐曲線相交的問題，一般是要設出直線聯立曲線，再用韋達定理，本問要解法的是求范圍的問題，其不等式在第（2）問中已給出，所以只需寫出三角形面積的表達式。