已知函數(shù)f(x)=loga(
x2+m
+x)，(a＞0，a≠1)為奇函數(shù)，
1）求實數(shù)m的值；
2）求f（x）的反函數(shù)f-1（x）；
3）若兩個函數(shù)F（x）與G（x）在[p，q]上恒滿足|F（x）-G（x）|＞2，則稱函數(shù)F（x）與G（x）在[p，q]上是分離的．試判斷函數(shù)f（x）的反函數(shù)f-1（x）與g（x）=ax在[1，2]上是否分離？若分離，求出a的取值范圍；若不分離，請說明理由．
分析：1）根據(jù)f（x）為奇函數(shù)可知f（x）+f（-x）=0，解之即可求出m的值；
2）先將x用y表示出來，然后將x與y進行互換，最后根據(jù)原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系即可求反函數(shù)；
3）記h(ax)=|f-1(x)-g(x)|=
1
2
(ax+
1
ax
)，假設f-1（x）與g（x）在[1，2]是分離的，，則h（ax）＞2在x∈[1，2]上恒成立，即h（ax）min＞2，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（ax）的最小值即可．
解答：解：1）f（x）為奇函數(shù)⇒f（x）+f（-x）=0⇒m=1
2）ay=
x2+1
+x
∴（ay-x）2=x2+1
即x=
1
2
（ay-
1
ay
）
∴f-1(x)=
1
2
(ax-
1
ax
)，x∈R
3）f-1(x)=
1
2
(ax-
1
ax
)
記h(ax)=|f-1(x)-g(x)|=
1
2
(ax+
1
ax
)
假設f-1（x）與g（x）在[1，2]是分離的，，則h（ax）＞2在x∈[1，2]上恒成立，
即　h（ax）min＞2．
①當a＞1時，x∈[1，2]，ax∈[a，a2]，h（ax）在ax∈[a，a2]上單調(diào)遞增，h(ax)min=h(a)=
1
2
(a+
1
a
)＞2⇒a＞2+
3
；
②當0＜a＜1時，x∈[1，2]，ax∈[a2，a]，h（ax）在ax∈[a2，a]上單調(diào)遞減，h(ax)min=h(a)=
1
2
(a+
1
a
)＞2⇒0＜a＜2-
3
；
故a的取值范圍是：(0，2-
3
)∪(2+
3
，+∞)．
點評：本題主要考查了對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用，以及反函數(shù)的求解和新定義的理解，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b
（1）若函數(shù)f（x）在P（0，f（0））的切線方程為y=5x+1，求實數(shù)a，b的值：
（2）當a＜3時，令g(x)=
f′(x)
x
，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx的圖象在點P（2，f（2））處的切線方程為l：y=x+b
（1）求出函數(shù)y=f（x）的表達式和切線l的方程；
（2）當x∈[
1
e
，e]時（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=
12
x2+a（a為常數(shù)），直線l與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象都相切，且l與函數(shù)f（x）的圖象的切點的橫坐標為1．
（1）求直線l的方程及a的值；
（2）當k＞0時，試討論方程f（1+x2）-g（x）=k的解的個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設f（x）有兩個極值點x1，x2，若過兩點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線l與x軸的交點在曲線y=f（x）上，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b，a，b為實數(shù)，x∈R，a∈R．
（1）當1＜a＜2時，若f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）的條件下，求經(jīng)過點P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程；
（3）試討論函數(shù)F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的極值點的個數(shù)．

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