Question

一只口袋中裝有8個(gè)乒乓球，其中4個(gè)是舊球．現(xiàn)進(jìn)行兩輪摸球活動(dòng)，每輪隨機(jī)地從這8個(gè)球中摸取2個(gè)，第一輪結(jié)束后將所摸的球（看成舊球）重新放回口袋，拌勻后再進(jìn)行第二輪摸球．
（1）設(shè)第一輪摸到新球的個(gè)數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）求第二輪恰好摸到一個(gè)新球的概率．

Answer 1

分析：（1）確定ξ的可能取值，求出相應(yīng)的概率，即可求摸出黑球個(gè)數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（2）分三種情況討論，（i）當(dāng)?shù)?輪摸到的是兩只舊球時(shí)，（ii）當(dāng)?shù)?輪摸到的是一只舊球一只新球時(shí)，（iii）當(dāng)?shù)?輪摸到的是兩只新球時(shí)，分別求出它們的概率，最后利用互斥事件的加法公式即可得出第二輪恰好摸到一個(gè)新球的概率．

解答：解：（1）ξ的可能取值為0，1，2，3，
則P（ξ=0）=

C 2 4

C 2 8

=

3

14

，P（ξ=1）=

C 1 4 C 1 4

C 2 8

=

4

7

，P（ξ=2）=

C 2 4

C 2 8

=

3

14

，
∴隨機(jī)變量X的分布列如下：

ξ	0	1	2
P	3 14	4 7	3 14

則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為Eξ=0×

3

14

+1×

4

7

+2×

3

14

=1；
（2）分三種情況討論：
（i）當(dāng)?shù)?輪摸到的是兩只舊球時(shí)，第二輪恰好摸到一個(gè)新球的概率為P₁=

3

14

×

C 1 4 C 1 4

C 2 8

=

6

49

；
（ii）當(dāng)?shù)?輪摸到的是一只舊球一只新球時(shí)，第二輪恰好摸到一個(gè)新球的概率為P₂=

4

7

×

C 1 3 C 1 5

C 2 8

=

15

49

；
（iii）當(dāng)?shù)?輪摸到的是兩只新球時(shí)，第二輪恰好摸到一個(gè)新球的概率為P₃=

3

14

×

C 1 2 C 1 6

C 2 8

=

9

98

；
綜上所述，第二輪恰好摸到一個(gè)新球的概率為P=P₁+P₂+P₃=

6

49

+

15

49

+

9

98

=

51

98

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．