Question

10．在四棱錐A-BCDE中，AB⊥平面BCDE，底面BCDE是正方形且AB=CD，點G，F(xiàn)分別是AD和CD的中點．求：
（1）異面直線GF和AE所成角的大�。�
（2）在平面ABC內(nèi)，是否存在一點H，使得HG⊥平面ADE？若存在，請指出該點的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）以B為原點，BC為x軸，BE為y軸，BA為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線GF和AE所成角的大�。�
（2）設在平面ABC內(nèi)，存在一點H（a，0，c），使得HG⊥平面ADE，利用向量法能求出H（1，0，0），H為BC中點時，HG⊥平面ADE．

解答 解：（1）以B為原點，BC為x軸，BE為y軸，BA為z軸，建立空間直角坐標系，
設AB=CD=2，則F（2，1，0），A（0，0，2），D（2，2，0），G（1，1，1），E（0，2，0），
$\overrightarrow{GF}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{AE}$=（0，2，-2），
設異面直線GF和AE所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{GF}•\overrightarrow{AE}|}{|\overrightarrow{GF}|•|\overrightarrow{AE}|}$=$\frac{|2|}{\sqrt{2}×\sqrt{8}}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ=60°，
∴異面直線GF和AE所成角的大小為60°．
（2）設在平面ABC內(nèi)，存在一點H（a，0，c），使得HG⊥平面ADE，
∵$\overrightarrow{HG}$=（1-a，1，1-c），$\overrightarrow{AD}$=（2，2，-2），$\overrightarrow{AE}$=（0，2，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{HG}•\overrightarrow{AD}=2（1-a）+2-2（1-c）=0}\\{\overrightarrow{HG}•\overrightarrow{AE}=2-2（1-c）=0}\end{array}\right.$，解得a=1，c=0，
∴H（1，0，0），H為BC中點時，HG⊥平面ADE．

點評 本題考查異面直線所成角的大小的求法，考查線面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．