Question

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x；
（I）求證：對?a＞0，f（x）≤ax²；
（II）證明：ln（n+1）≤，（n∈N^*）；
（III）求證：對?t∈R，e^2x-2t（e^x+x）+x²+2t²-≥0．

Answer 1

解：（I）只需證明f（x）的最大值為O即可，f′（x）=-1，令f′（x）=0，得x=0，
當-1＜x＜1時，f′（x）＞0．當x＞0時，f′（x）＜0
∴x=0是f（x）唯一的極大值點，故f（x）的最大值=f（0）=0
∵a＞0，∴ax²≥0
從而 f（x）≤ax²（4分）
（II）由（I）當x＞-1時，f（x）≤ax²，即
ln（1+x）≤x+x²=x（1+x）
令x= 得ln（1+）=ln（1+n）-lnn≤
∴l(xiāng)n2-ln1≤，ln3-ln2≤…
ln（1+n）-lnn≤
上面n個不等式相加，得ln（1+n）≤ （9分）
（III）由（I）得x＞-1時 ln（1+x）≤x即e^x-x≥1
∴=2×≤2×=e^2x-2t（e^x+x）+x²+2t²，
∴e^2x-2t（e^x+x）+x²+2t²-≥0 （14分）
分析：（I）只需證明f（x）的最大值為O即可，利用導(dǎo)數(shù)研究此函數(shù)的最大值，從而得出結(jié)論；
（II）第II問取a=1這特殊情形，將連續(xù)型函數(shù)轉(zhuǎn)化為間斷型數(shù)列求和，用裂項法處理．第II問由左邊的一項到右邊的n項，肯定是由幾個不等式累加而成；
（III）第III問用分析法將不等式左邊重新組合，再配方，利用重要不等式進行放縮即可．
點評：本題第I問主要考查用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)性態(tài)，處理不等式恒成立問題為后面兩問提供“工具”．第II問取a=1這特殊情形，將連續(xù)型函數(shù)轉(zhuǎn)化為間斷型數(shù)列求和，用裂項法處理．第III問將第I問提供的工具變形后再用，其中考查了利用重要不等式放縮這一技巧．對轉(zhuǎn)化與化歸思想要求較高，屬于難題．