Question

已知焦點(diǎn)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，），直線l過(guò)點(diǎn)F₂與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求的范圍；
（2）若與向量共線，求的值及△AOB的外接圓方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用焦點(diǎn)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，），結(jié)合橢圓的定義，可以求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，將數(shù)量積用坐標(biāo)表示，就可以求出的范圍；
（2）與向量共線，及韋達(dá)定理，我們可以求出的值，再分類求出△AOB的外接圓方程即可．
解答：解：（1）∵焦點(diǎn)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，），
∴，∴，
∵焦點(diǎn)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）
∴c=1
∴b²=1，所以橢圓的方程是，
直線方程y=k（x-1）代入橢圓的方程，消去y，化簡(jiǎn)為（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴==（#）  
令=m，則≥0，∴，∴
當(dāng)k不存在時(shí)，，則=
綜上，（6分）
（2）
∵與向量共線
∴
∴
由韋達(dá)定理知k=0或k=代入（#）得=-2或0
當(dāng)=-2時(shí)，A，O，B共線，不存在外接圓
當(dāng)=0時(shí)，，外接圓直徑為AB，圓心為（，-），
∴△AOB的外接圓方程為
點(diǎn)評(píng)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的確定，關(guān)鍵是確定橢圓的幾何量，直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題，通常要利用韋達(dá)定理，注意掌握技巧與方法．