Question

如圖，某興趣小組測得菱形養(yǎng)殖區(qū)ABCD的固定投食點A到兩條平行河岸線l₁、l₂的距離分別為4m、8m，河岸線l₁與該養(yǎng)殖區(qū)的最近點D的距離為1m，l₂與該養(yǎng)殖區(qū)的最近點B的距離為2m．
（1）如圖甲，養(yǎng)殖區(qū)在投食點A的右側(cè)，若該小組測得∠BAD=60°，請據(jù)此算出養(yǎng)殖區(qū)的面積；
（2）如圖乙，養(yǎng)殖區(qū)在投食點A的兩側(cè)，試在該小組未測得∠BAD的大小的情況下，估算出養(yǎng)殖區(qū)的最小面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）設AD與l₁所成夾角為α，推出AB與l₂所成夾角為60°-α，對菱形ABCD的邊長“算兩次”得，
求出，然后求出養(yǎng)殖區(qū)的面積；
（2）如圖乙，設AD與l₁所成夾角為α，∠BAD=θ∈（120°，180°），推出AB與l₂所成夾角為（180°-θ+α），
類似（1）求出養(yǎng)殖區(qū)的面積，通過導數(shù)求解養(yǎng)殖區(qū)的面積的最小值．
解答：解：（1）如圖甲，設AD與l₁所成夾角為α，
則AB與l₂所成夾角為60°-α，
對菱形ABCD的邊長“算兩次”得，
解得，
所以，養(yǎng)殖區(qū)的面積；
（2）如圖乙，設AD與l₁所成夾角為α，∠BAD=θ∈（120°，180°），
則AB與l₂所成夾角為（180°-θ+α），
對菱形ABCD的邊長“算兩次”得，
解得，
所以，養(yǎng)殖區(qū)的面積==，
由
得，
經(jīng)檢驗得，當時，
養(yǎng)殖區(qū)的面積S_min=27（m²）．
答：（1）養(yǎng)殖區(qū)的面積為；（2）養(yǎng)殖區(qū)的最小面積為27m²．
點評：本題考查三角形的解法，導數(shù)的應用，對菱形ABCD的邊長“算兩次”是解題的關鍵，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想．