Question

已知函數(shù)f（x）=|x+a|，g（x）=-|x-3|+1．
（1）解關(guān)于x的不等式f（x）+g（x）＞1；
（2）若對(duì)?x∈R，f（x）＞g（x）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）解絕對(duì)值不等式的方法有多種，本題可用平方法去掉絕對(duì)值，轉(zhuǎn)化為解一元一次不等式，注意討論字母a
（2）f（x）＞g（x）恒成立?|x+a|+|x-3|＞1恒成立，從而轉(zhuǎn)化為求y=|x+a|+|x-3|的最小值問題，可利用絕對(duì)值的幾何意義得到此函數(shù)的最小值

解答：解：（1）不等式f（x）+g（x）＞1，即|x+a|＞|x-3|，
兩邊平方得：2（a+3）x＞（3+a）（3-a）
∴當(dāng)a=-3時(shí)，解集為∅
當(dāng)a＞-3時(shí)，解集為(

3-a

2

，+∞)；
當(dāng)a＜-3時(shí)，解集為(-∞，

3-a

2

)
（2）若對(duì)任意x∈R，f（x）＞g（x）恒成立，則|x+a|＞-|x-3|+1對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，即|x+a|+|x-3|＞1恒成立，
∵|x+a|+|x-3|≥|a+3|
∴|a+3|＞1，解得a＞-2或a＜-4

點(diǎn)評(píng)：本題考查了絕對(duì)值不等式的解法，絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用等知識(shí)，考查了分類討論和轉(zhuǎn)化的思想方法，屬基礎(chǔ)題