Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（ax²-2x+3），（a＞0，a≠1）
（1）若f（x）的值域?yàn)镽，求a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在[

1

2

，2]上是增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）的值域是R，則y=ax²-2x+3取遍所有大于0的值，然后利用二次函數(shù)性質(zhì)，列出不等關(guān)系，轉(zhuǎn)化成恒成立問題，求解即可得到a的取值范圍；
（2）原函數(shù)f（x）=log_a（ax²-2x+3）是函數(shù)y=log_aμ與μ=ax²-2x+3的復(fù)合函數(shù)，利用對(duì)數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性來研究即可，注意對(duì)數(shù)的真數(shù)必須大于0．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=log_a（ax²-2x+3），且f（x）的值域?yàn)镽，
根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)，可知當(dāng)y=ax²-2x+3取遍所有大于0的值時(shí)，f（x）的值域?yàn)镽，
∵a＞0，則y=ax²-2x+3的圖象開口向上，
∴△=（-2）²-4×3×a≥0，即a≤

1

3

，
又a＞0，
∴0＜a≤

1

3

，
故a的取值范圍為0＜a≤

1

3

；
（2）∵函數(shù)f（x）=log_a（ax²-2x+3），
∴原函數(shù)f（x）=log_a（ax²-2x+3）是函數(shù)y=log_aμ與μ=ax²-2x+3的復(fù)合函數(shù)，
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，μ=log_ax在（0，+∞）上是減函數(shù)，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)μ=ax²-2x+3在[

1

2

，2]上是減函數(shù)，
函數(shù)μ=ax²-2x+3的對(duì)稱軸為x=-

-2

2a

，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，
∴-

-2

2a

≥2，解得a≤

1

2

，
根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)μ=ax²-2x+3＞0在[

1

2

，2]上恒成立，即μ_min＞0，
∵函數(shù)μ=ax²-2x+3在[

1

2

，2]上是減函數(shù)，則當(dāng)x=2時(shí)，μ_min=4a-1，
∴4a-1＞0，解得a＞

1

4

，
∴a的取值范圍為

1

4

＜a≤

1

2

；
②當(dāng)a＞1時(shí)，μ=log_ax在（0，+∞）上是增函數(shù)，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)μ=ax²-2x+3在[

1

2

，2]上是增函數(shù)，
函數(shù)μ=ax²-2x+3的對(duì)稱軸為x=-

-2

2a

，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，
∴-

-2

2a

≤

1

2

，解得a≤2，
根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)μ=ax²-2x+3＞0在[

1

2

，2]上恒成立，即μ_min＞0，
∵函數(shù)μ=ax²-2x+3在[

1

2

，2]上是增函數(shù)，則當(dāng)x=

1

2

時(shí)，μ_min=

1

4

a+2，
∴

1

4

a+2＞0，解得a＞-8，
綜上得，a的取值范圍為1＜a≤2．
綜合①②，a的取值范圍為

1

4

＜a≤

1

2

或1＜a≤2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的值域問題．涉及了對(duì)數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)于二次函數(shù)要注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，注意抓住二次函數(shù)的開口方向，對(duì)稱軸，以及判別式的考慮．對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)，如果底數(shù)a的值不確定范圍，則需要對(duì)底數(shù)a進(jìn)行分類討論，便于研究指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)．屬于中檔題．