Question

已知P={x|x²-8x-20≤0}，S={x||x-1|≤m}．
（1）是否存在實(shí)數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件，若存在，求出m的范圍；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使x∈P是x∈S的必要條件，若存在，求出m的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）x∈P是x∈S的充要條件，表示P=S，根據(jù)集合相等的判定方法，我們可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于m的方程組，若方程組有解，說明存在實(shí)數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件，若方程無解，則說明不存在實(shí)數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件；
（2）x∈P是x∈S的必要條件，表示S⊆P，利用集合包含關(guān)系，的判定方法，我們可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于m的不等式組，解不等式組即可得到m的范圍．
解答：解：（1）由題意x∈P是x∈S的充要條件，則P=S．
由x²-8x-20≤0⇒-2≤x≤10，
∴P=[-2，10]．
由|x-1|≤m⇒1-m≤x≤1+m，∴S=[1-m，1+m]．
要使P=S，則∴
∴這樣的m不存在．
（2）由題意x∈P是x∈S的必要條件，則S⊆P．
由|x-1|≤m，可得1-m≤x≤m+1，
要使S⊆P，則
∴m≤3．
綜上，可知m≤3時(shí)，x∈P是x∈S的必要條件．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次不等式的解法、絕對值不等式的解法，及集合包含關(guān)系與充要條件之間的轉(zhuǎn)化，其中解決問題的核心是集合包含關(guān)系與充要條件之間的轉(zhuǎn)化原則，即“誰小誰充分，誰大誰必要”