Question

已知橢圓M：的面積為πab，M包含于平面區(qū)域Ω：內(nèi)，向平面區(qū)域Ω內(nèi)隨機投一點Q，點Q落在橢圓內(nèi)的概率為．
（Ⅰ）試求橢圓M的方程；
（Ⅱ）若斜率為的直線l與橢圓M交于C、D兩點，點為橢圓M上一點，記直線PC的斜率為k₁，直線PD的斜率為k₂，試問：k₁+k₂是否為定值？請證明你的結(jié)論、

Answer 1

解：（Ⅰ）平面區(qū)域Ω：是一個矩形區(qū)域，如圖所示．
依題意及幾何概型，可得，
即．
因為，
所以，．
所以，橢圓M的方程為
（Ⅱ）設直線l的方程為：，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
聯(lián)立直線l'的方程與橢圓方程得：

（1）代入（2）得：
化簡得：x²+bx+b²-3=0）
當△＞0時，即，b²-4（b²-3）＞0
也即，|b|＜2時，直線l'與橢圓有兩交點，
由韋達定理得：，
所以，，

則k₁+k₂==
所以，k₁+k₂為定值．
分析：（Ⅰ）平面區(qū)域Ω：是一個矩形區(qū)域，如圖所示．
依題意及幾何概型，可得，由此可導出橢圓M的方程．
（Ⅱ）設直線l的方程為：，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
聯(lián)立直線l'的方程與橢圓方程得：，
∴，
然后結(jié)合題設條件，由根的判別式和根與系數(shù)的關系能夠推導出k₁+k₂為定值0．
點評：本題綜合考查橢圓的性質(zhì)及應用和直線 與橢圓的位置關系，解題時要認真審題、仔細解答，避免出現(xiàn)不必要的錯誤．